METODO DE EULER

     MÉTODO
                   DE 
                       EULER 

En el método de Euler se tomó como válida para todo el intervalo la derivada encontrada en   un extremo de éste Fig. 

Para obtener una exactitud ra­zonable se utiliza un intervalo muy pequeño, a cambio de un error de redondeo mayor (ya que se realizarán más cálculos).

El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valor promedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo. en lugar de la derivada tomada en un solo extremo.

  EL MÉTODO DE EULER MODIFICADO:

1. Se parte de (xo,Yo) Y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de Y correspondiente a Xl' Este valor de Y se denotará aquí como YI' ya que sólo es un valor transitorio para Yl' Esta parte del proceso se conoce como paso predictor.

2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el nuevo punto obtenido (XI, Yl) se evalúa la derivada [(xI' YI) usando la ecua­ción diferencial ordinaria del PVI que se esté resolviendo; se obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (xo' Yo)

1/2 [F(xo ,Yo) + F(Xl,YI)] = derivada promedio

Se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de y₁, con la ecuación y₁=y₀+hf(x₀,y₀), que deberá ser mas exacto que y₁

y se tomara como valor definitivo de y₁. Este procedimiento se repite hasta llegar a y_n.

El esquema iterativo para este método  quedara en general así:

Primero, usando el paso de predicción resulta:

 

.

Una vez obtenida y_i+1 se calcula f(x_i+1,y_i+1), la derivada en el punto (x_i+1,y_i+1), y se promedia con la derivada previa (x_i,y_i) para encontrar la derivada promedio

Se sustituye f(x_i,y_i) con este valor promedio en la ecuación de iteración de euler y se obtiene:

euler



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