RAICES DE ECUACIONES

TEOREMA 

                  FUNDAMENTAL 

                                              DEL 

                                                       ALGEBRA

El Teorema Fundamental del Álgebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene una raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos argumentos

http://enciclopedia.us.es/index.php/Teorema_fundamental_del_%C3%A1lgebra

  REGLA
                DE LOS 
                               SIGNOS 
                                              DE 
                                                    DESCARTES 


*Dice: El número de raíces Positivas es igual al número de variaciones de f(x) ó es menor que este número en un número par.

*Dice: El número de raíces Negativas es igual al número de variaciones de f(-x) ó es menor que este número en un número par.

Por Ejemplo:

2x^5+3x^4-2x^2+x-2

Positivos: 3 Negativos: 2 imaginarios: 0

La regla de los signos de descartes nos dice de acuerdo con la tabla anterior que la ecuación tiene por lo menos una Raíz Positiva y Máximo 3, y que ó tiene 2 Raíces Negativas ó no tiene ninguna.

            MÉTODO
                            DE
                                NEWTON-RAPHSON

Entre los métodos de aproximaciones sucesivas para encontrar algunas de las raíces de una ecuacíon algebraica o tracendente, el de Newton-Raphson es el que presenta mejores características de eficiencia, debido a que casi siempre converge a la solución y lo hace en un número reducido de iteraciónes.

         

Este método es aplicable tanto en ecuaciones algebraicas como tracendentes y con él es posible obtener raíces complejas.

        

Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es xi, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi,f(xi)] de la curva. por lo común, el punto donde esta tangente cruza el eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

El método de Newton-Rapshon se deduce a partir de esta interpretación geométrica.

El método de Newton-Raphson, como todos los de aproximaciones sucesivas, parte de una primera aproximación y mediante la aplicación de una formula de recurrencia se acercara a la raíz buscada, de tal manera que la nueva aproximación se localiza en la interseccíon de la tangente a la curva de la función en el punto y el eje de las abscisas.

De la figura se tiene que la primer derivada en x es equivalente a la pendiente:

que se reordena para obtener:

la cual se conoce como fórmula de Newton-Raphson.